Teoria liczb

Notatka na marginesie

exp(x) = sin(x)

Some function
f(x) = e^x-\sin(x)
gives us interesting properties:

  • on the left side (x<0) we have f(x) \approx \sin(x) and having infinitely many zeros
  • on the right side (x>0) we have f(x) \approx e^x and growing exponentially

However, there is POI about zeros of this function:

exsinx




Since \sin(x) \approx x when x is small, we have approximation of first root as an solution of e^x = - \pi - x
x_1 \approx - \pi - e^{-\pi - e^{-\pi - e^{-\pi - \ldots}}} = -W(e^{-\pi})-\pi \approx -3.18305
where W(x) is Lambert-W function.
The same way we have approximation of second root as an solution of e^x = 2\pi + x x_2 \approx - 2\pi + e^{-2\pi + e^{-2\pi + e^{-2\pi + \ldots}}} = -W(e^{-2\pi})-2\pi \approx -6.28131
We know that e^x \rightarrow 0 as x \rightarrow - \infty there is x_n \rightarrow -n\pi, although we don’t know the exact solution yet..

Problem paneli

Dany jest kształt pokoju i naszym zadaniem jest ułożenie paneli podłogowych w tym pokoju. Wszystkie panele są tego samego kształtu, dla uproszczenia zakładamy że są takie same z przodu i z tyłu, tak samo jak i z lewej i prawej strony. Pisząc prościej zakładamy, że posiadają środek symetrii. Dodatkowo, mówimy, że każdy panel możemy przeciąć ‘wszerz’, ale jego minimalna długość jest zadana. Dodatkowo, musimy zachować odpowiednią długość pomiędzy łączeniami.

Continue reading →